Rozwiązywanie problemów rzeczywistego świata dzięki matematyce stosowanej
Uniwersalnie przyjęte prawa zachowania, np. prawo zachowania masy, pędu i energii, to jedne z silniejszych praw fizyki opisujących i wyjaśniających rzeczywiste procesy. Z matematycznego punktu widzenia, prawo zachowania prowadzi do nieliniowych częściowych równań różniczkowych (PDE), które są tak złożone, że na ogół nie można ich rozwiązać. Dysponując odpowiednimi technikami, można jednak je rozwiązać w przybliżeniu przy pomocy skończonego zbioru punktów lub elementów dyskretnych (np. siatki obliczeniowej). Ten krok polegający na przejściu z pierwotnych równań do rozwiązania zredukowanego zadania siatki obliczeniowej, zwanego dyskretyzacją, prowadzi do tak zwanych schematów numerycznych dla rozwiązania równań PDE. "Chociaż pierwsze metody numeryczne pochodzą z czasów Newtona i Eulera, to jednak dopiero z nastaniem epoki współczesnych komputerów udało się rozwiązać złożone nieliniowe równania PDE opisujące zachowanie masy, pędu i energii w dopuszczalnym czasie i właściwie dla wszystkich istotnych przypadków", wyjaśnia koordynator projektu Michael Dumbser. W ramach projektu STIMULUS realizowanego na Uniwersytecie Trydenckim we Włoszech opracowano uniwersalne metody służące do rozwiązywania hiperbolicznych praw zachowania, które można zastosować w wielu różnych zadaniach. Udało się to osiągnąć poprzez połączenie dwóch tradycyjnie odmiennych podejść do nielinearnych praw zachowania – metodę skończonej objętości i metodę elementów skończonych – w ramach jednej, bardziej ogólnej metodologii. Uniwersalny charakter matematyki Jednym z głównych osiągnieć projektu było umożliwienie analizy teoretycznej oraz opracowanie pierwszego rozwiązania liczbowego do nowego uniwersalnego wzoru mechaniki ośrodków ciągłych. Według Dumbsera, naukowcy mogą teraz po raz pierwszy opisać płyny i części stałe za pomocą tego samego układu równań PDE. "Nowe metody numeryczne są bardzo dokładne i umożliwiają rozwiązywanie praw zachowania w złożonych geometriach w wielu różnych zastosowaniach", mówi. "Opracowaliśmy na przykład wysokowydajne i dokładne algorytmy, które można zastosować do symulacji wytwarzania i propagowania fal akustycznych w takich złożonych geometriach, jak turbodoładowane silniki, pozwalając na ograniczenie zanieczyszczeń generowanych przez samoloty". Dumbser wyjaśnia, że te same algorytmy można również zastosować do modelowania oceanicznych fal tsunami oraz symulowania fal sejsmicznych przechodzących przez skorupę Ziemi, umożliwiając naukowcom skuteczniejsze przewidywanie skutków trzęsienia Ziemi. "Algorytmy numeryczne, które zostały opracowane na potrzeby symulacji hałasu przelatujących samolotów można zastosować do zupełnie innych celów", mówi Dumbser. "Jest to możliwe za sprawą tego samego uniwersalnego matematycznego sformułowania problemu jako układu praw zachowania". Korzystając z tego samego podejścia matematycznego, uczestnicy projektu opracowali również nowe schematy symulacji płynnej plazmy powstającej w kontekście inercyjnej syntezy termojądrowej (ICF). W opinii Dumbsera, główną trudnością w eksperymentach dotyczących ICF są złożone niestabilności przepływów powstające jeszcze przed procesem łączenia. Aby pokonać te trudności, uczestnicy projektu STIMULUS zaproponowali nowe techniki matematyczne dostarczające szczegółowych informacji o fizyce niestabilności przepływów oraz umożliwiające w pespektywie długofalowej opracowanie strategii kontrolowania i ograniczania tych niestabilności. W kierunku komercjalizacji Badacze aktualnie pracują nad komercjalizacją wyników projektu. "Nasza koncepcja zakłada zastosowanie nowych bardziej znaczących funkcji Lagrange'a na poruszającej się niestrukturyzowanej siatce w celu symulacji maszyn obrotowych takich jak turbiny gazowe, wiatrowe i wodne, stanowiących najważniejsze urządzenia mechaniczne aktualnie używane do produkcji energii elektrycznej", wyjaśnia Dumbser. "Opracowane nowe algorytmy są o wiele dokładniejsze niż wcześniej stosowane, a ponadto umożliwiają rozkładanie bardzo małych cech przepływów, tj. turbulentnych wirów w złożonych geometriach". Uczestnicy projektu liczą, że dowody słuszności koncepcji będą gotowe w 2017 r.
Słowa kluczowe
STIMULUS, inercyjna synteza termojądrowa (ICF), geometrie, matematyka, mechanika ośrodków ciągłych, prawo zachowania, masa, pęd, energia, siatka obliczeniowa