Semplificare la complessa geometria algebrica
Il progetto FOSICAV, finanziato dall’UE, riguarda la complessa geometria algebrica – e coinvolge quindi complicate spiegazioni e risultati complessi. Per esempio, secondo i ricercatori del progetto, un aspetto fondamentale della geometria algebrica è che le varietà cambiano in famiglie, e gli spazi parametro sono essi stessi delle varietà. In base alla definizione, una varietà è un oggetto geometrico definito da equazioni polinomiali nello spazio proiettivo n-dimensionale con coordinate nel campo dei numeri complessi. Lo spazio del progetto è un leggero ampliamento del consueto n-spazio fisico ottenuto aggiungendo punti all’infinito, tale che due linee parallele nello spazio fisico si incontrano in un punto unico all’infinito. Detto in modo semplice, il progetto intendeva avere un impatto notevole sulla geometria algebrica. “Ci aspettiamo che il nostro approccio semplice per enumerare invarianti renderà possibili dei calcoli che sono, per natura, impossibili usando i metodi attuali,” dice il coordinatore del progetto Ciro Ciliberto. Analisi mediante degenerazione A questo punto le cose si fanno complesse. Dal momento che l’obiettivo del progetto era quello di enumerare curve su superfici K3 (una superficie complessa o algebrica liscia minimale completa che è regolare e possiede fibrato canonico banale) usando metodi di degenerazione, i ricercatori del progetto hanno intrapreso lo studio geometrico di varie famiglie di sottovarietà di alcune varietà algebriche complesse di piccole dimensioni e, soprattutto, di famiglie di curve. Secondo Ciliberto, le varietà di Severi sono un esempio tipico, dal momento che parametrizzano curve di grado e genere geometrico specificato nel piano proiettivo e la curva generale ha un numero stabilito di punti doppi ordinari e nessuna ulteriore singolarità. Oltre a esplorare le dimensioni e le proprietà di regolarità e irriducibilità di queste varietà, i ricercatori hanno anche determinato i loro polinomi di Hilbert, che codificano i loro gradi e sono delle importanti invarianti enumerative. “Una caratteristica centrale del nostro progetto era quella di effettuare questa analisi mediante degenerazione – per studiare famiglie di sottovarietà in una data varietà X, abbiamo lasciato X degenerare e abbiamo osservato ciò che accadeva nel limite,” spiega Ciliberto. “Ad esempio, per studiare curve su una generale superficie K3, la lasciamo degenerare fino a un’unione di piani proiettivi, il cui doppio grafo è la triangolazione della reale due-sfera.” Nello specifico, il progetto ha preso in considerazione le seguenti famiglie di sottovarietà: famiglie di curve con invarianti stabilite e singolarità nelle superfici, con un’attenzione speciale ai due casi del piano proiettivo e delle superfici K3; famiglie di sezioni iperpiane con singolarità stabilite delle ipersuperfici in spazi proiettivi; famiglie di curve con un genere specificato in spazi triplici di Calabi-Yau; e famiglie di superfici nello spazio tridimensionale proiettivo contenente curve con singolarità inattese. Matematica pura Ciò che risulta chiaro a questo punto è che il progetto FOSICAV riguarda la matematica pura. Pertanto, esso è destinato a stare da solo e non necessariamente ad avere una qualche applicazione “diretta” o “comune”. “Si tratta di un fatto ben documentato che la scienza pura alimenta più ricerca applicata, e infine lo sviluppo di applicazioni concrete,” afferma Ciliberto. “È quindi fondamentale sostenere una ricerca dalla mentalità aperta come il progetto FOSICAV, quale modo di esplorare strade forse meno promettenti per quanto riguarda possibili applicazioni, ma dalla quale un giorno potrebbe spuntare una vera e propria idea rivoluzionaria.”
Parole chiave
FOSICAV, matematica, geometria algebrica
