Lever les verrous computationnels liés aux interactions complexes entre les ondes
Qu’il s’agisse de suivre l’onde de choc d’un séisme à travers la Terre ou d’étudier les forces qui séparent les deux brins d’une molécule d’ADN, l’énergie interagit avec des interfaces complexes présentes dans le monde réel. En mathématiques appliquées comme en physique, décrire ces phénomènes exige de résoudre des problèmes complexes de propagation des ondes et de problèmes aux limites. Depuis plus d’un siècle, les principaux outils utilisés pour résoudre ces équations reposent sur les méthodes de factorisation(s’ouvre dans une nouvelle fenêtre), les techniques de Wiener-Hopf(s’ouvre dans une nouvelle fenêtre) et les problèmes de Riemann-Hilbert. Fondées sur l’analyse complexe et la théorie des opérateurs, ces techniques décomposent une fonction analytique complexe en un produit ou une somme de composantes plus simples et indépendantes, ramenant ainsi des problèmes de propagation des ondes apparemment insolubles à des équations pouvant être résolues. Financé dans le cadre du programme Actions Marie Skłodowska-Curie, le projet EffectFact s’est attaqué à un obstacle computationnel majeur: si ces techniques fonctionnent parfaitement pour des équations scalaires, elles deviennent inopérantes lorsqu’elles sont appliquées aux systèmes matriciels complexes à plusieurs variables qu’exigent la science et les technologies modernes.
Résoudre le problème matriciel de Wiener-Hopf
«Pour surmonter cette difficulté de longue date, nous avons dépassé le cadre de la théorie abstraite afin de mettre au point des méthodes de factorisation matricielle à la fois efficaces, constructives et numériquement fiables pour les problèmes matriciels de Wiener-Hopf. Elles restent stables même lorsque les invariants structurels ne sont pas connus a priori», explique le coordinateur du projet, Gennady Mishuris. Les chercheurs du projet ont développé de nouveaux algorithmes de factorisation des polynômes matriciels et les ont intégrés dans un logiciel opérationnel, baptisé ExactMPF. Ils ont également développé des outils d’analyse permettant de déterminer si un ensemble inconnu d’indices partiels reste stable sous l’effet de perturbations externes. L’importance de ces avancées apparaît clairement lorsqu’on les replace dans leur contexte mathématique. «Les équations scalaires à une seule variable sont maîtrisées depuis longtemps et constituent la pierre angulaire de nombreux domaines, de la mécanique des fluides à la théorie de la diffraction, en passant par la modélisation financière. Mais les phénomènes réels mettent rarement en jeu des systèmes aussi simples», confie Gennady Mishuris. «Les applications modernes reposent au contraire sur des systèmes couplés multiphysiques, dont les variables interdépendantes doivent être décrites sous la forme de fonctions matricielles complexes.»
Pourquoi la factorisation matricielle classique atteint ses limites
À la fin des années 1950, les mathématiciens Israel Gohberg et Mark Krein ont démontré l’existence de la factorisation matricielle, mais leur théorie demeurait non constructive et ne fournissait aucune méthode de calcul explicite. Elle reposait sur des invariants structurels cachés (indices partiels). Selon le critère de stabilité de Gohberg-Krein-Bojarski, cette factorisation devient extrêmement instable à la moindre perturbation, sauf si ces indices satisfont à des conditions très restrictives. Or les données issues du monde réel étant inévitablement bruitées, cette instabilité constituait un obstacle majeur aux calculs. Tenter une factorisation sans connaître les indices partiels faisait diverger les algorithmes classiques et conduisait à des résultats erronés. Cette limite freinait les avancées dans des domaines tels que les systèmes quantiques, les métamatériaux ou la biomécanique, qui reposent sur des équations couplées ne pouvant être ramenées à des formes scalaires.
De nouvelles solutions au service de l’ingénierie
En mettant au point ExactMPF et en levant ces problèmes de stabilité, les membres du projet EffectFact ont pu exploiter leurs algorithmes pour résoudre des équations issues de situations physiques concrètes. En factorisation spectrale, les chercheurs ont développé de nouvelles méthodes numériques capables de traiter des systèmes matriciels singuliers et bruités. Dans le domaine de la propagation et de la diffraction des ondes, ils ont appliqué des méthodes itératives de Wiener-Hopf pour modéliser la diffusion des ondes acoustiques par des réseaux périodiques et suivre la propagation des fissures dans des milieux discrets. Dans le domaine des métamatériaux et des milieux microstructurés, ils ont étudié des systèmes gyroélastiques et discrets, mettant en évidence de nouveaux mécanismes de contrôle directionnel des ondes, de résonances de bord et de localisation des ondes, autant de phénomènes essentiels au développement des systèmes d’isolation vibratoire de nouvelle génération. En mécanique de la rupture, les travaux du projet ont permis de résoudre des problèmes multi-échelles portant notamment sur la propagation des fissures, la fracturation hydraulique, l’homogénéisation de la ténacité et la rupture des matériaux dans des milieux hétérogènes. Ces travaux permettent de mieux comprendre les mécanismes à l’origine des dommages structurels. Enfin, EffectFact a également fait progresser la modélisation biomédicale en étudiant la mécanique articulaire, les interactions tissulaires, l’indentation cellulaire et les structures d’échafaudage biocompatibles. «Plutôt que de produire des résultats purement théoriques, nous avons voulu mettre au point des méthodes pratiques et interdisciplinaires que les chercheurs pourront appliquer directement à un large éventail de problématiques scientifiques et industrielles», conclut Gennady Mishuris.
