Beseitigung von Rechenengpässen bei komplexen Wellenwechselwirkungen
Ob es nun darum geht, die Schockwelle eines Erdbebens durch die Erde oder die Kräfte nachzuverfolgen, die einen DNS-Strang auseinanderziehen – Energie stößt in der realen Welt auf komplexe Grenzen. In der angewandten Mathematik und Physik ist für die Erfassung dieser Ereignisse die Lösung komplexer Wellenphysik- und Randwertprobleme erforderlich. Seit über einem Jahrhundert beruhen die wichtigsten Werkzeuge zur Lösung dieser Gleichungen auf Faktorisierungsmethoden(öffnet in neuem Fenster), Wiener-Hopf(öffnet in neuem Fenster) –Methoden und Riemann-Hilbert-Problemen. Diese Methoden, die auf der komplexen Analysis und der Operatorenrechnung basieren, zerlegen eine komplexe analytische Funktion in ein Produkt oder eine Summe einfacherer, unabhängiger Komponenten und verwandeln so scheinbar unmögliche Wellenphysik in lösbare Gleichungen. Das über die Marie-Skłodowska-Curie-Maßnahme geförderte Projekt EffectFact hatte zum Ziel, einen kritischen Engpass in der Datenverarbeitung zu beheben: Zwar funktionieren diese Methoden bei einfachen Gleichungen mit einer Variablen (Skalar) einwandfrei, doch versagen sie, wenn sie auf die komplexen Matrixsysteme mit mehreren Variablen angewendet werden, die in der modernen Wissenschaft und Technik erforderlich sind.
Das Wiener-Hopf-Matrixproblem lösen
„Um dieses langjährige Problem zu lösen, sind wir über die abstrakte Theorie hinausgegangen. Wir haben effektive, konstruktive und numerisch zuverlässige Matrixfaktorisierungs-Methoden für Matrix-Wiener-Hopf-Probleme entwickelt, die auch dann stabil bleiben, wenn strukturelle Invarianten a priori unbekannt sind“, bemerkt Projektkoordinator Gennady Mishuris. Die Projektforschenden entwickelten neue Algorithmen zur Matrixpolynom-Faktorisierung und setzten die entsprechenden Ansätze in einsetzbare Software um, indem sie das ExactMPF-Paket erstellten. Außerdem entwickelten sie analytische Werkzeuge, mit denen sich beweisen lässt, ob ein unbekannter Satz von Teilindizes unter äußeren Störungen stabil ist. Die Bedeutung dieser Durchbrüche leuchtet ein, wenn man den mathematischen Hintergrund betrachtet. „Skalare Gleichungen mit einer Variablen sind seit langem bekannt und dienen als Grundlage für alles – von der Strömungsmechanik und der Beugungstheorie bis hin zur Finanzmodellierung. Allerdings laufen die Vorgänge in der realen Welt selten isoliert ab“, erklärt Mishuris. „Moderne Anwendungen werden stattdessen von gekoppelten Mehrfeldsystemen dominiert, deren miteinander verbundene Variablen als komplexe matrixwertige Funktionen ausgedrückt werden müssen.“
Warum die herkömmliche Matrixfaktorisierung versagt
Ende der 1950er Jahre bewiesen die Mathematiker Israel Gohberg und Mark Krein die Existenz der Matrixfaktorisierung. Ihre Theorie war jedoch nicht konstruktiv und lieferte kein explizites Berechnungsverfahren. Die Theorie stützte sich auf verborgene Strukturinvarianten (Teilindizes). Gemäß dem Stabilitätskriterium von Gohberg-Krein-Bojarski ist diese Faktorisierung bei kleinen Störungen äußerst instabil, es sei denn, diese Indizes erfüllen bestimmte einschränkende Bedingungen. Da physikalische Daten aus der realen Welt naturgemäß Rauschen enthalten, führte diese Instabilität zu Hindernissen bei der Berechnung. Der Versuch einer blinden Faktorisierung ohne Kenntnis der Teilindizes führte dazu, dass traditionelle Algorithmen divergierten und zu falschen Lösungen führten. Dies behinderte Fortschritte in den Bereichen Quantensysteme, Metamaterialien und Biomechanik, die auf gekoppelten Gleichungen beruhen, welche sich nicht auf skalare Formen reduzieren lassen.
Neue Lösungen für praktische Anwendungen im Ingenieurwesen
Durch die Bereitstellung von ExactMPF und die Behebung dieser Stabilitätsmängel nutzten die Mitglieder von EffectFact ihre Algorithmen, um reale physikalische Gleichungen zu lösen. Im Bereich der Spektralzerlegung führten sie neue numerische Methoden ein, um singuläre und verrauschte Matrixsysteme zu behandeln. Im Hinblick auf Wellenausbreitung und Beugung setzten die Forschenden iterative Wiener-Hopf-Ansätze ein, um die Streuung akustischer Wellen an Gitteranordnungen zu bewerten und die Rissausbreitung in diskreten Medien zu verfolgen. Im Bereich der Metamaterialien und mikrostrukturierten Medien untersuchten sie gyroelastische und diskrete Systeme. Dabei entdeckten sie neuartige Mechanismen zur Richtungssteuerung von Wellen, Kantenresonanzen und Wellenlokalisierung, die für die Schwingungsisolierung der nächsten Generation unerlässlich sind. Im Bereich der Bruchmechanik wurden im Rahmen von Projektarbeiten Probleme auf verschiedenen Skalen gelöst. Dazu zählen Rissausbreitung, hydraulische Frakturierung, Homogenisierung der Zähigkeit und Materialversagen in heterogenen Medien. Dies trägt zu einem besseren Verständnis dazu bei, wie strukturelle Schäden entstehen. Letztendlich brachte EffectFact durch die Erforschung von Gelenkmechanik, Gewebeinteraktionen, zellulären Eindrücken und biokompatiblen Gerüststrukturen die biomedizinische Modellierung voran. „Anstatt isolierte analytische Daten zu erzeugen, haben wir uns vorgenommen, praktische, interdisziplinäre Methoden zu entwickeln, die Forschende direkt auf verschiedene wissenschaftliche und industrielle Herausforderungen anwenden können“, so Mishuris abschließend.
