Solución de problemas computacionales en interacciones de ondas complejas
Ya sea rastreando la onda expansiva de un terremoto a través de la Tierra o analizando las fuerzas que separan una hebra de ADN, la energía se enfrenta a complejos límites del mundo real. En matemáticas aplicadas y física, capturar estos eventos requiere resolver problemas complejos de física de ondas y de valores en la frontera. Durante más de un siglo, las herramientas principales utilizadas para resolver estas ecuaciones se han basado en los métodos de factorización(se abrirá en una nueva ventana), las técnicas de Wiener-Hopf(se abrirá en una nueva ventana) y los problemas de Riemann-Hilbert. Estas técnicas, basadas en el análisis complejo y la teoría de operadores, descomponen una función analítica compleja en un producto o suma de componentes independientes más simples, transformando la física ondulatoria, aparentemente imposible, en ecuaciones resolubles. Financiado por las acciones Marie Skłodowska-Curie, el proyecto EffectFact se propuso resolver un obstáculo computacional crítico: si bien estas técnicas funcionan a la perfección para ecuaciones simples de una sola variable (escalares), fallan cuando se aplican a los sistemas matriciales complejos de múltiples variables que requieren la ciencia y la tecnología modernas.
Resolución del problema de Wiener-Hopf para matrices
«Para superar este problema tan antiguo, hemos ido más allá de la teoría abstracta y hemos desarrollado técnicas de factorización de matrices eficaces, constructivas y numéricamente fiables para los problemas de Wiener-Hopf matriciales, que se mantienen estables incluso cuando los invariantes estructurales se desconocen a priori», señala el coordinador del proyecto, Gennady Mishuris. Los investigadores del proyecto desarrollaron nuevos algoritmos para la factorización de polinomios de matrices y tradujeron los métodos relacionados en un «software» utilizable mediante la creación del paquete ExactMPF. También crearon herramientas analíticas para comprobar si un conjunto desconocido de índices parciales es estable ante perturbaciones externas. La importancia de estos avances se hace evidente al observar el contexto matemático. «Si bien las ecuaciones escalares de una sola variable se comprenden desde hace mucho tiempo y sirven como piedra angular para todo, desde la mecánica de fluidos y la teoría de la difracción hasta la modelización financiera, el mundo real rara vez funciona de forma aislada», explica Mishuris. «En cambio, las aplicaciones modernas están dominadas por sistemas acoplados de múltiples campos cuyas variables interconectadas deben expresarse como funciones complejas con valores matriciales».
Por qué falla la factorización de matrices tradicional
A finales de los años cincuenta del siglo pasado los matemáticos Israel Gohberg y Mark Krein demostraron que existe la factorización de matrices, pero su teoría no era constructiva, ya que no proporcionaba ningún procedimiento de cálculo explícito. La teoría se basaba en invariantes estructurales ocultas (índices parciales). Según el criterio de estabilidad de Gohberg-Krein-Bojarski, esta factorización es altamente inestable ante pequeñas perturbaciones, a menos que estos índices satisfagan condiciones restrictivas. Dado que los datos físicos del mundo real contienen inherentemente ruido, esta inestabilidad creó barreras computacionales. Intentar realizar una factorización a ciegas sin conocer los índices parciales provocó que los algoritmos tradicionales divergieran, produciendo soluciones incorrectas. Ello impidió los avances en sistemas cuánticos, metamateriales y biomecánica, que dependen de ecuaciones acopladas que no pueden reducirse a formas escalares.
Nuevas soluciones para usos prácticos de ingeniería
Al entregar ExactMPF y solucionar estos fallos de estabilidad, los miembros de EffectFact aprovecharon sus algoritmos para resolver ecuaciones físicas del mundo real. En el ámbito de la factorización espectral, introdujeron nuevos métodos numéricos para tratar sistemas de matrices singulares y con ruido. En lo que respecta a la propagación y la difracción de las ondas, los investigadores utilizaron métodos iterativos de Wiener-Hopf para evaluar la dispersión de las ondas acústicas en matrices reticulares y para seguir la propagación de grietas a través de medios discretos. En el campo de los metamateriales y los medios microestructurados, investigaron sistemas giroelásticos y discretos, descubriendo nuevos mecanismos para el control direccional de ondas, resonancias de borde y localización de ondas, elementos esenciales para el aislamiento de vibraciones de próxima generación. En mecánica de fractura, el trabajo del proyecto resolvió problemas multiescala, incluyendo la propagación de grietas, la fracturación hidráulica, la homogeneización de la tenacidad y la falla de materiales en medios heterogéneos. Ello mejora la comprensión de cómo se inicia el daño estructural. En definitiva, EffectFact ha supuesto un avance en el campo de la modelización biomédica gracias a su investigación sobre la mecánica articular, las interacciones entre tejidos, la indentación celular y las estructuras de andamios biocompatibles. «En lugar de producir datos analíticos aislados, buscamos establecer metodologías prácticas e interdisciplinarias que los investigadores puedan aplicar directamente a diversos desafíos científicos e industriales», concluye Mishuris.
