Risolvere i colli di bottiglia computazionali nelle interazioni ondulatorie complesse
Che si tratti di tracciare l’onda d’urto di un terremoto attraverso la Terra o di individuare le forze che separano un filamento di DNA, nel mondo reale l’energia si scontra con complessi confini. Nell’ambito della matematica applicata e della fisica, la descrizione di questi eventi richiede la risoluzione di complicati problemi di fisica ondulatoria e ai valori al contorno. Per oltre un secolo, gli strumenti principali utilizzati per risolvere queste equazioni si sono basati sui metodi di fattorizzazione(si apre in una nuova finestra), sulle tecniche di Wiener-Hopf(si apre in una nuova finestra) e sui problemi di Riemann-Hilbert. Radicate nell’analisi complessa e nella teoria degli operatori, queste tecniche scompongono una funzione analitica complessa in un prodotto o una somma di componenti più semplici e indipendenti, trasformando fenomeni apparentemente impossibili della fisica ondulatoria in equazioni risolvibili. Finanziato nell’ambito del programma di azioni Marie Skłodowska-Curie, il progetto EffectFact si è posto l’obiettivo di risolvere un collo di bottiglia computazionale critico: mentre queste tecniche funzionano in modo impeccabile per equazioni semplici a una variabile (scalari), falliscono quando applicate ai complessi sistemi matriciali multivariabili richiesti dalla scienza e dalla tecnologia moderne.
Risolvere il problema matriciale di Wiener-Hopf
«Per superare questo annoso problema, siamo andati oltre la teoria astratta al fine di sviluppare tecniche di fattorizzazione di matrici efficaci, costruttive e numericamente affidabili per i problemi matriciali di Wiener-Hopf, che rimangono stabili anche quando gli invarianti strutturali sono sconosciuti a priori» osserva Gennady Mishuris, il coordinatore del progetto. I ricercatori del progetto hanno sviluppato nuovi algoritmi per la fattorizzazione di matrici polinomiali e hanno successivamente tradotto i relativi approcci in un software utilizzabile creando il pacchetto ExactMPF. Inoltre, hanno creato strumenti analitici volti a dimostrare la stabilità di un insieme sconosciuto di indici parziali in presenza di perturbazioni esterne. L’importanza di queste scoperte è facilmente comprensibile se si considera il contesto matematico. «Sebbene le equazioni scalari a variabile singola siano note da tempo e costituiscano un fondamento per discipline che spaziano dalla meccanica dei fluidi alla teoria della diffrazione, passando per la modellizzazione finanziaria, il mondo reale raramente opera in modo isolato», spiega Mishuris. «Le applicazioni moderne sono invece dominate da sistemi accoppiati e multidisciplinari le cui variabili interconnesse devono essere espresse come complesse funzioni a valori matriciali.»
Perché la fattorizzazione matriciale tradizionale fallisce
Sebbene alla fine degli anni ’50 i matematici Israel Gohberg e Mark Krein dimostrarono l’esistenza della fattorizzazione di matrici, la loro teoria non era costruttiva e non forniva alcuna procedura di calcolo esplicita. Essa si basava su invarianti strutturali nascosti (indici parziali); secondo il criterio di stabilità di Gohberg-Krein-Bojarski, questa fattorizzazione è altamente instabile in presenza di piccole perturbazioni, a meno che tali indici non soddisfino condizioni restrittive. Visto che i dati fisici del mondo reale contengono intrinsecamente del rumore, questa instabilità ha creato delle barriere computazionali. Il tentativo di conseguire la fattorizzazione cieca senza conoscere gli indici parziali ha causato la divergenza degli algoritmi tradizionali, producendo soluzioni errate e impedendo in tal modo di compiere progressi nei sistemi quantistici, nei metamateriali e nella biomeccanica, che dipendono da equazioni accoppiate non riducibili a forme scalari.
Nuove soluzioni per applicazioni pratiche di ingegneria
Mettendo a disposizione ExactMPF e risolvendo questi problemi di stabilità, i membri di EffectFact hanno sfruttato i propri algoritmi per risolvere equazioni fisiche del mondo reale. In relazione alla fattorizzazione spettrale, hanno introdotto nuovi metodi numerici intesi a gestire sistemi di matrici singolari e rumorosi. Per quanto riguarda la propagazione e la diffrazione delle onde, i ricercatori hanno utilizzato approcci iterativi di Wiener-Hopf al fine di valutare la diffusione delle onde acustiche da parte di reticoli e di tracciare la propagazione delle crepe attraverso mezzi discreti; nell’ambito dei metamateriali e dei mezzi microstrutturati, hanno studiato sistemi giroelastici e discreti, svelando nuovi meccanismi per il controllo direzionale delle onde, le risonanze di bordo e la localizzazione delle onde, elementi essenziali per realizzare l’isolamento dalle vibrazioni di prossima generazione. Per quanto concerne la meccanica della frattura, il lavoro svolto nel corso del progetto ha permesso di risolvere problemi multiscala tra cui la propagazione delle cricche, la fratturazione idraulica, l’omogeneizzazione della tenacità e la rottura dei materiali in mezzi eterogenei, migliorando in tal modo la comprensione delle modalità attraverso cui si innescano i danni strutturali. In definitiva, EffectFact ha fatto progredire la modellizzazione biomedica esplorando la meccanica articolare, le interazioni tissutali, l’indentazione cellulare e le strutture di supporto biocompatibili. «Anziché produrre dati analitici isolati, abbiamo cercato di stabilire metodologie pratiche e interdisciplinari applicabili direttamente dai ricercatori a diverse sfide scientifiche e industriali», conclude Mishuris.
