Rozwiązanie problemów obliczeniowych w złożonych oddziaływaniach falowych
Niezależnie od tego, czy obserwujemy rozchodzące się wstrząsy sejsmiczne, czy siły rozrywające nić DNA, w każdym przypadku jesteśmy świadkami złożonych oddziaływań energii z granicami naszego świata. Zarówno w matematyce stosowanej, jak i w fizyce, analiza tych zdarzeń wymaga rozwiązania złożonych problemów z zakresu fizyki fal i wartości brzegowych. Od przeszło wieku główne narzędzia pozwalające na rozwiązywanie tych złożonych równań obejmują metodę rozkładu na czynniki(odnośnik otworzy się w nowym oknie), a także techniki Wienera-Hopfa(odnośnik otworzy się w nowym oknie) i równania Riemanna-Hilberta. Opierające się na analizie zespolonej i teorii operatorów techniki pozwalają na rozkład złożonej funkcji analitycznej na iloczyn lub sumę prostszych, niezależnych składników, przekształcając pozornie niemożliwą do zrozumienia fizykę fal w rozwiązywalne równania. Zespół finansowanego ze środków działania „Maria Skłodowska-Curie” projektu EffectFact postawił sobie za cel rozwiązanie kluczowego problemu obliczeniowego. Choć techniki te działają bez zarzutu w przypadku prostych równań jednowymiarowych (skalarnych), nie sprawdzają się w przypadku złożonych układów macierzy wielowymiarowych, które występują powszechnie we współczesnej nauce i technologii.
Rozwiązanie problemu macierzowego Wienera-Hopfa
„Aby rozwiązać ten istniejący od dawna problem, wyszliśmy poza abstrakcyjne teorie i opracowaliśmy skuteczne, konstruktywne i numerycznie niezawodne techniki faktoryzacji macierzy dla problemów Wienera-Hopfa, które pozostają stabilne nawet wtedy, gdy niezmienniki strukturalne przekształcenia są nieznane a priori”, wyjaśnia Gennady Mishuris, koordynator projektu. Naukowcy uczestniczący w projekcie opracowali nowe algorytmy rozkładu wielomianów macierzy na czynniki pierwsze i wykorzystali te podejścia w celu opracowania użytecznego oprogramowania, w wyniku czego powstał pakiet ExactMPF. W ramach prac powstały także narzędzia analityczne, które umożliwiają stwierdzenie, czy nieznany zestaw wskaźników cząstkowych będzie stabilny w przypadku zakłóceń zewnętrznych. Znaczenie tych przełomów staje się oczywiste, gdy przyjrzymy się zagadnieniom matematycznym leżącym u ich podstaw. „Choć równania skalarne z jedną zmienną są znane od dawna i stanowią absolutną podstawę wielu dziedzin, począwszy od mechaniki płynów i teorii dyfrakcji po modelowanie finansowe, w rzeczywistym świecie rzadko mamy do czynienia z takimi sytuacjami”, wyjaśnia Mishuris. „Współczesne rozwiązania opierają się głównie na sprzężonych, wielopolowych układach, w ramach których powiązane ze sobą zmienne muszą być wyrażone jako złożone funkcje macierzowe”.
Dlaczego tradycyjna faktoryzacja macierzy zawodzi?
Pod koniec lat 50. XX wieku matematycy Israel Gohberg i Mark Krein dowodzili, że faktoryzacja macierzy jest możliwa. Ich teoria była jednak niekonstruktywna i nie obejmowała żadnej procedury obliczeniowej. Ich teoria opierała się na ukrytych niezmiennikach strukturalnych (wskaźnikach cząstkowych). Zgodnie z kryterium stabilności Gohberga-Kreina-Bojarskiego, faktoryzacja ta jest wysoce niestabilna w przypadku małych zaburzeń, chyba że wskaźniki spełniają restrykcyjne warunki. Biorąc pod uwagę fakt, że rzeczywiste dane fizyczne z natury zawierają szum, niestabilność prowadzi do powstania barier obliczeniowych. Próba ślepego rozkładu na czynniki pierwsze bez znajomości wskaźników cząstkowych wprowadzała różnice w konwencjonalnych algorytmach, co skutkowało nieprawidłowymi rozwiązaniami. Uniemożliwiło to rozwój układów kwantowych, metamateriałów i biomechaniki, które opierają się na sprzężonych równaniach, których nie da się sprowadzić do postaci skalarnej.
Nowe rozwiązania praktycznych problemów inżynieryjnych
Dzięki opracowaniu pakietu ExactMPF i rozwiązaniu problemów dotyczących stabilności, zespół projektu EffectFact był w stanie wykorzystać opracowane przez siebie algorytmy do rozwiązywania rzeczywistych równań fizycznych. W kontekście faktoryzacji widmowej badacze wprowadzili nowe metody numeryczne umożliwiające obliczanie osobliwych i zaszumionych układów macierzowych. W przypadku badania rozprzestrzeniania się fal i dyfrakcji badacze zastosowali iteracyjne podejście Wienera-Hopfa w celu oceny rozpraszania fal akustycznych przez układy sieciowe i śledzenia rozprzestrzeniania się pęknięć w ośrodkach dyskretnych. W kontekście metamateriałów i ośrodków mikrostrukturalnych zespół badał układy żyroelastyczne i dyskretne, odkrywając nowe mechanizmy sterowania falami kierunkowymi, rezonansów krawędziowych i lokalizacji fal – rozwiązania niezbędne do opracowania nowej generacji rozwiązań w zakresie izolacji drgań. W dziedzinie mechaniki pęknięć nowe odkrycia pozwoliły na rozwiązanie problemów wieloskalowych, w tym propagacji pęknięć, pękania hydraulicznego, homogenizacji wytrzymałości i uszkodzeń materiałów w ośrodkach heterogenicznych. Wszystkie te osiągnięcia przekładają się na poszerzenie wiedzy na temat powstawania uszkodzeń konstrukcyjnych. Dodatkowym obszarem rozwijanym w ramach projektu EffectFact jest modelowanie biomedyczne, w przypadku którego badacze skupili się na analizie mechaniki stawów, oddziaływań między tkankami, wgłębień komórkowych i biokompatybilnych struktur rusztowań. „Zamiast skupiać się na opracowaniu odizolowanych danych analitycznych, staraliśmy się opracować praktyczne, interdyscyplinarne metody, które naukowcy będą mogli bezpośrednio stosować w rozwiązywaniu różnorodnych problemów naukowych i przemysłowych”, podsumowuje Mishuris.
